第七章 等价鞅测度模型及无套利均衡基本定理 一、等价鞅测度的基本含义 1. 鞅的定义：随机过程[Zn，n0]如果满足以下两个条件： ，对于n0中的任意n。 2. 等价鞅测度的定义是随机过程{S(t)，条件概率P 概率。 那么条件概率P*称为真实概率P的等价鞅测度或等价鞅概率。根据等价鞅测度的关系，表达了风险中性定价原则，即平均值的现值根据每个阶段的信息结构确定的条件概率计算出的值总是等于初始阶段的值，因此可以求解条件概率P*，因为无套利条件下的真实世界P服务于期权的风险中性定价。 为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子。 假设目前不派息证券的市场价格为100元。 我们知道，半年后，股价要么是110元，要么是90元？ 假设当前无风险年利率等于10%，现在我们想求这只股票的一份欧式看涨期权的价值，一个月协议价为105元。 由于欧洲期权不会提前行使，因此其价值取决于六个月后证券的市场价格。 如果1个月后股价等于110元，则5个月后期权价值为90元，期权价值为0。为了求出该期权的价值，我们假设所有投资者都是风险中性的。 在风险中性的世界中，我们假设股票上涨的概率为P*，下跌的概率为1-P*。

这个概率称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率不同。 事实上，风险中性概率已经由股票价格和利率的变化决定： 100P*=0.7564 根据风险中性定价原理，我们可以计算出期权的价值：5975 2.考察等值鞅从例子测度存在性和唯一性，请参考《金融工程原理》P,108-P112通过等效鞅概率求期望值 (1)首先求奇异期权在各个状态下的价值。 奇异期权：合约结构不标准且非常复杂，而不是说稀有、很少交易或风险较高的期权。 可分为三种类型：合约条件改变期权（改变期权的某些条件）、路径依赖期权（根据一段时间内标的资产价格的变化路径确定最终结算）、多重期权。 -因子期权（最终结算是根据两个或多个标的资产的价格确定的）。 同理可得 142minmax{[214142min(10,11,14,10,9,9)],=28+9-14-18=5 (2) 通过等价鞅测度找到所有等价鞅测度条件 3可知： 所以： 1011101111 求解该方程组可得到唯一解： p=q=1/3 同理可得： i=1,2,„9j=1,2,3 因为所有解均可被发现，并且是唯一的，因此无套利均衡第二基本定理表明该模型是可生存的，所有衍生证券都可以通过无套利均衡进行定价。

(3) 要找到单一看涨期权的价格，首先要找到等效的鞅测度 P*。 由等价鞅测度的条件3可知：1011101111。首先求出等价鞅测度P*。 由等价鞅测度的条件3可知：1011p+10q+8(1-pq)=10，即3p+2q=2。 显然，上式有无数个解。 同理，从11可以得到无数个解，因此有无数个等价鞅测度，因此模型具有生存性，但并不是所有的衍生证券都可以通过无套利均衡来定价。 由于衍生证券的价格x必须保证为常数才有意义，所以应该有一定的限制。 虽然我们不能得到唯一的等价鞅测度，但是根据等价鞅测度的条件3，我们可以得到如下关系式：（书上的表达不太准确）由上式和方程组（*）可知，我们可以推导出得到： (x) 是任何等效鞅测度下的常数。 从方程组(*)中，可以得到两个等价鞅测度P*和Q*（本书第111页），并可以计算出总结： (1) 如果市场中具有独立价格变化过程的证券数量当每个事件树大于父节点的分叉数量（即状态数量）时，市场必然存在套利机会。 （例2） （2）如果市场中具有独立价格变化过程的证券数量等于事件树每个父节点的分叉数量（即状态数量），则该市场中的所有衍生证券市场可以通过无套利均衡定价，或者换句话说，对于每种衍生证券，市场为 (3) 如果市场中具有独立价格变化过程的证券数量小于分叉数量（即数量事件树的每个父节点的状态） 当 时，并非市场上所有的衍生证券都可以通过无套利均衡定价。

只有当衍生证券的期末价值满足一定的比例关系时，市场才是完整的。 （如例 3） 3. 使用鞅法推导 B~S 模型 (1) 鞅法：对于 {XttT}，EXT=Xt 称为 Xt (2) 资产 S 服从几何布朗运动：dzdt 处于风险中-中性世界，且不存在“分红”时： dzrdt （求解上式积分） EST = Ster (Tt) （求上式两边的期望） {St, tT} 本身就是不是鞅，但贴现后变成鞅，即 er (Tt) St- r(Tt)ESt=Ster(Tt)-r(Tt)Ee-r(Tt)ST=St (3) 预期贴现下面采用鞅法，即根据欧式期权定义，采用鞅法来定价（对于期权定价）：CT= max(ST-x, 0)，因为er(Tt)ST是鞅法，所以er( Tt)CT 也是鞅，则 Ee-r(Tt)CT=CtCt=er(Tt)ECT