本文主要讨论一般贴现模型债券的久期和凸性性质：
1. 持续时间
1. 持续时间
对上式求一阶导数，并取当前债券净价PV0：
(1+r) MOD 为麦考利久期，是以现值为权重计算的久期的加权平均值。 作为持续时间的衡量标准当然没有问题，但其数学意义相对模糊。 MOD是修正久期，是一个类似于数学弹性的概念。 也就是说，收益率变化 X% 将大约引发净资产百分比变化。
2. 持续时间的性质
(1) 持续时间的线性可加性
麦考利久期按照净值权重绝对线性相加； 如果忽略1/(1+r)项中的差异，则修正久期也根据贴现值权重线性相加。
(2)久期与收益率的关系：
收益率位于久期公式的分子中，因此随着收益率的增加，久期将会减少。 这可以从两个方面来理解：1）随着收益率的增加，远程现金流现值下降幅度更大，因此远程现金流折现值的权重减小，整个久期变小； 2）从凸性可以看出，要理解的话，凸性就是-MOD的求导（见下面的公式），它是一个正数，所以随着利率的增加，MOD减小。
2. 凸性和泰勒展开式
1.凸性
凸性 (C) 描述了收益率 X% 变化引起的修正久期 MOD 的变化：
2. 泰勒展开式
根据泰勒的说法：
因此，对于债券，净价格变化的二阶导数近似可以写为：
从上式可以看出，久期导致价格的变动与收益率变化成反比，凸性对应于收益率变化的平方项，因此收益率变化对应的凸性对收益率的影响为正。价格：即由于凸性的存在，与纯久期估计相比，收益率的下降会带来更多的价格上涨； 产量的增加将带来更少的价格下跌。
3. 凸性的性质
(1) 凸性的线性可加性：
就净值权重而言，凸性也被认为是线性相加的。
（2）久期对凸性的影响：久期越长，凸性越大
一般的结论是：对于一般债券，久期越长，凸度越大； 对于超长久期且现金流不宜集中在尾部偿还的债券，久期越长，凸性越大（可能需要50年左右的期限）。
简单推导：
对于单次现金流凸性公式C：
检查截止日期 n 的变化如何影响二阶导数：
经过推导，上式的符号最终由下式的符号决定：
2-r(n-1)
因此，如果r(n-1)，我们一般理解为持续时间越长，凸性越大。
凸性赋予债券非常好的特性，使其易于上涨而难以下跌。 长期债券具有较大的凸度，因此这就需要它们在收益率上做出让步，即给予较低的收益率。 这是债券收益率曲线扁平化的重要原因，理论上称为凸性偏差。
关于收益率曲线的结构，还有另外两种经典理论：1）纯预期理论，认为长期债券未来之所以有高回报，是因为预期收益率曲线未来会上移，而持有长期债券的收益则集中在下半年。 ; 2）纯风险溢价理论，认为未来收益率曲线不变，长期债券的高收益率体现在风险溢价上，体现在众所周知的骑行收益上。 事实上，实际的收益率曲线结构是由上述三个因素共同决定的，未来收益率曲线很难保持不变（如风险溢价理论所声称的那样），所以现实是上述理论的折衷。
（3）票面利率对凸度的影响：票面利率越大，凸度越大
凸性公式中，票面利率反映的所有现金流量都在分子中，与凸性正相关。
（4）收益率变化对凸度的影响：收益率越大，凸度越小
在凸性公式中，收益率体现在分母上，与凸性负相关。
（5）负凸性（MBS）和凸性对冲（凸性对冲）
一般情况下，债券的凸度为正（-MOD的导数），这意味着收益率上升的持续时间会缩短。 这种边际变化是凸性防御性的关键体现：即在收益率上升的过程中，持续时间会不断缩短。 如果只用一阶导数来近似，你的损失会越来越少。
但对于住房抵押贷款这样的资产，凸性是负的，即当利率上升时，久期就会增加，投资者的损失就会更大：因为MBS的底层资产对应的是住房贷款，所以当利率上升时，人们的损失就会增加。利率下降。 当利率上升时，人们会选择提前还款和再融资，这会缩短整个MBS的期限； 当利率上升时，人们会选择尽可能晚还款，从而延长MBS的期限。
由于MBS的负凸性特征，当国债收益率上升时，投资者往往会做空国债（衍生品）进行对冲（凸性和久期都具有线性可加性），这会进一步推高收益率。 从好的方面来说，这就是凸性对冲推动收益率更高的方式。 目前我国市场上还不存在这种效应。
3.数值计算——直观感受久期和凸度的影响
1. 考察债券到期收益率与净价之间的关系
让我们直观感受一下不同期限国债的形态。 可以看出，期限较长的债券具有较高的曲率，这也反映了其较大的凸度（根据实际现金流计算，见图1）。 从直观上看，其实1-10年期国债凸度的影响并不显着（直线比较直）。
图1：主要期限国债到期收益率与净价关系图
2. 久期和凸度的应用——基点值的估计
1）Duration：持续时间的概念基本可以理解。 例如，如果债券的久期为8，那么收益将增加10bps，久期的影响将是净价下降80bps； 2）凸性：凸性的值是比较难理解的。 例如，目前30年期政府债券的凸度为417。其对净价的影响需要估计。 影响约为(凸度/2*dr*dr)，即对于凸度约为400的债券，收益若债券利率变化10bps，其对债券净价的贡献为增加2bps。
凸性是二阶导数的性质，收益率的变化在很小的范围内（价格波动按1 in 1计算，即bps），所以很多情况下一阶导数近似就足够了，而凸性对冲效果并不显着。 。
表1：10bsp变化下的时长&凸度泰勒拟合效果计算